Étude de la concentration d'une hormone

La mélatonine est une hormone naturellement produite par la glande pinéale dans le cerveau. Elle est parfois appelée hormone du sommeil car elle joue un rôle clé dans la régulation du cycle veille-sommeil en signalant à l'organisme qu'il est temps de dormir.  

On considère la fonction suivante qui décrit la concentration de mélatonine dans le sang : \(M(t)=70\cos\left(\dfrac{\pi}{12}t-\dfrac{\pi}{4}\right)+80\), où \(t\) est le temps en heures et \(M(t)\) la concentration de mélatonine dans le sang en pg/mL.
On considère que lorsque \(t=0\), il est minuit.

1. a. Calculer \(M(0)\). On donnera la valeur exacte, puis une valeur arrondie au dixième.
    b. Interpréter le résultat.
2. Déterminer la concentration de mélatonine dans le sang à \(9\) h.
3. La fonction \(M\) est-elle périodique ? Si oui, donner sa période.
4. a. Quelle est la concentration minimale de mélatonine dans le sang ? À quelle heure de la journée cela correspond-il ?
    b. Quelle est la concentration maximale de mélatonine dans le sang ? À quelle heure de la journée cela correspond-il ?
5. a. Compléter le tableau de valeurs suivant.
\(\begin{array}{|l|l|l|l|l|l|l|l|l|} \hline\text{Temps en h} & 0 & 3 & 6 & 9 & 12 & 15 & 18 & 21 \\ \hline M(t)\text{ en pg/mL} & & & & & & & & \\ \hline\end{array}\)
    b. Dans un repère avec une échelle adaptée, construire la courbe représentative de la fonction \(M\) sur l'intervalle \([0\,;24]\).